% THIS IS SIGPROC-SP.TEX - VERSION 3.1
% WORKS WITH V3.2SP OF ACM_PROC_ARTICLE-SP.CLS
% APRIL 2009
%
% It is an example file showing how to use the 'acm_proc_article-sp.cls' V3.2SP
% LaTeX2e document class file for Conference Proceedings submissions.
% ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
% This .tex file (and associated .cls V3.2SP) *DOES NOT* produce:
%       1) The Permission Statement
%       2) The Conference (location) Info information
%       3) The Copyright Line with ACM data
%       4) Page numbering
% ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
% It is an example which *does* use the .bib file (from which the .bbl file
% is produced).
% REMEMBER HOWEVER: After having produced the .bbl file,
% and prior to final submission,
% you need to 'insert'  your .bbl file into your source .tex file so as to provide
% ONE 'self-contained' source file.
%
% Questions regarding SIGS should be sent to
% Adrienne Griscti ---> griscti@acm.org
%
% Questions/suggestions regarding the guidelines, .tex and .cls files, etc. to
% Gerald Murray ---> murray@hq.acm.org
%
% For tracking purposes - this is V3.1SP - APRIL 2009

\documentclass{acm_proc_article-sp}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{color}

\begin{document}

\title{Simulación de trackeo de aviones}
%
% You need the command \numberofauthors to handle the 'placement
% and alignment' of the authors beneath the title.
%
% For aesthetic reasons, we recommend 'three authors at a time'
% i.e. three 'name/affiliation blocks' be placed beneath the title.
%
% NOTE: You are NOT restricted in how many 'rows' of
% "name/affiliations" may appear. We just ask that you restrict
% the number of 'columns' to three.
%
% Because of the available 'opening page real-estate'
% we ask you to refrain from putting more than six authors
% (two rows with three columns) beneath the article title.
% More than six makes the first-page appear very cluttered indeed.
%
% Use the \alignauthor commands to handle the names
% and affiliations for an 'aesthetic maximum' of six authors.
% Add names, affiliations, addresses for
% the seventh etc. author(s) as the argument for the
% \additionalauthors command.
% These 'additional authors' will be output/set for you
% without further effort on your part as the last section in
% the body of your article BEFORE References or any Appendices.

\numberofauthors{6} %  in this sample file, there are a *total*
% of EIGHT authors. SIX appear on the 'first-page' (for formatting
% reasons) and the remaining two appear in the \additionalauthors section.
%
\author{
% You can go ahead and credit any number of authors here,
% e.g. one 'row of three' or two rows (consisting of one row of three
% and a second row of one, two or three).
%
% The command \alignauthor (no curly braces needed) should
% precede each author name, affiliation/snail-mail address and
% e-mail address. Additionally, tag each line of
% affiliation/address with \affaddr, and tag the
% e-mail address with \email.
%
%TODO: Hacer que se vean 2 filas de 3 autores
\alignauthor
Tom\'as Alvarez$^1$
       \email{talvarez@alu.itba.edu.ar}
\alignauthor
Carlos Castro$^1$
       \email{cacastro@alu.itba.edu.ar}
\alignauthor
Gabriel Cosi$^1$
       \email{gcosi@alu.itba.edu.ar}
\and
\alignauthor
Jos\'e Indalecio Liendro$^1$
       \email{jliendro@alu.itba.edu.ar}
\alignauthor
Gast\'on Ponti$^1$
       \email{gponti@alu.itba.edu.ar}
\alignauthor
Cristián Prieto$^1$
       \email{cprieto@alu.itba.edu.ar}
}
\date{29 Agosto 2011}
% Just remember to make sure that the TOTAL number of authors
% is the number that will appear on the first page PLUS the
% number that will appear in the \additionalauthors section.

\maketitle
{\color{white}\footnote[1]{ITBA}}


\begin{abstract}

En el presente artículo se analiza la estabilidad de un sistema de seguimiento de aviones, a través de distintos tipos de controladores, además de mostrar los resultados de las simulaciones para los mismos.  \\

\end{abstract}

\keywords{Sistemas de seguimiento de blanco a lazo cerrado, sistemas de control, simulaciones, error relativo porcentual, controlador integral, controlador derivativo}

\section{Introducción}

En la naturaleza existen sistemas naturalmente estables que perduran en el tiempo e intestables que están inexorablemente destinados a desaparecer. Del mismo modo existen maneras de ajustes, formas de aprendizaje y sistemas de control que posibilitan a un sistema autoregularse.  

Resulta de interés en la ingeniería imitar a la naturaleza para poder diseñar sistemas que perduren en el tiempo y se regulen de algún modo. En este sentido resulta útil el uso de herramientas del análisis matemático como por ejemplo el cálculo de los autovalores de un sistema. Con estos se puede interpretarlos y contemplar su comportamiento.

Así analizamos un sistema de seguimiento de blanco a través de distintos sitemas de control que difieren en el modo en cómo se ajustan al error y que por otra parte condicionan fuertemente la estabilidad del sistema.


En la primer sección exponemos el desarollo del análisis y simulaciones, en la sección siguiente las conclusiones y finalmente las referencias utilizadas para la elaboración del artículo.

Dentro del desarrollo, primero se modela el sistema con sus parámetros y condiciones iniciales y luego el análisis puntual de cada uno de los controladores estudiados. En primer orden el controlador lineal, segundo el controlador integral y por último el derivativo.

 

\section{Desarrollo}




\subsection{Modelado}


El sistema de seguimiento de blancos de una bater\'ia antia\'erea consiste en un radar cuya din\'amica puede modelarse seg\'un la ecuaci\'on \eqref{systemEquation}

\begin{equation}\label{systemEquation}
I \ddot{\theta} = b\dot{\theta} + u(t)
\end{equation}

donde $\theta$ es el ángulo que corresponde a la dirección en la que apunta el radar, $I$ es
el momento de inercia de la antena y $b$ consiste en una constante positiva que vincula
la fuerza viscosa que actúa sobre la antena. Finalmente $u(t)$ representa el torque que
realizan los motores que actúan sobre la antena. La figura \ref{dinamica} muestra como es el proceso
de seguimiento de un blanco, cuya dirección es el ángulo $\theta R$.


Todas las condiciones iniciales del sistema son nulas y las constantes se detallan a continuación:
\\\\
Momento de inercia: $I = 0.004 kg m^2$        \\
Coeficiente de viscocidad: $b = 0.02 kg m^2 s^{-1}$ 


\begin{equation}\label{Error}
e(t)=\theta_R(t)-\theta(t)
\end{equation}

La ecuación \eqref{Error} es el error a partir del cual se realiza el control del sistema , es una señal que representa la discrepancia del ángulo $\theta$ respecto de la dirección del blanco $\theta_R$, ecuación \eqref{thetaR}.

\begin{equation}\label{thetaR}
\theta_R(t)=0.01t
\end{equation}

Para las simulaciones tomamos como medida del error al error porcentual relativo $ERP$, el cual se expone en la ecuación \eqref{relativeError}.

\begin{equation}\label{relativeError}
E\%(t) = \frac{\theta_R (t) - \theta(t)}{\theta_R (t)}
\end{equation}



\subsection{Controlador lineal}

Existen distintas formas de modelar el torque que gobierna el radar. Una primera aproximación es un modelo lineal el cual es directamente proporcional al error \eqref{Error} con una constante K como parámetro de ajuste. Esa aproximación se detalla en la ecuación \eqref{firstSystemEquation}. 

Experimentamos con distintos valores de $K$, y obtenemos la figura \ref{fpuntoa}. En la misma observamos que para algunos valores de la constante $K$, $\theta$ se asemeja a $\theta_R$, mientras que para otros diverge, como por ejemplo para $k=0.01$. También observamos que para algunos valores, $\theta$ tiene un comportamiento oscilatorio.


\begin{equation}\label{firstSystemEquation}
u(t) = K e(t)
\end{equation}


En la ecuaci\'on \eqref{sistemapuntob} mostramos el sistema de ecuaciones diferenciales que caracteriza al sistema

\begin{equation}\label{sistemapuntob}
\left\{ \begin{array}{llcl}
         &\dot{x_2} = -\frac{b}{I}x_2 + \frac{k}{I} (\theta_R (t) - x_1)\\\\
         &\dot{x_1} = x_2
	  \end{array}\right.
\end{equation}

a partir del cual, mostr\'andolo en forma matricial, obtenemos la ecuaci\'on \eqref{sistemapuntobmatricial}.

\begin{equation}\label{sistemapuntobmatricial}
\left( \begin{array}{cc}
\dot{x_1}\\
\dot{x_2}\end{array} \right)=\quad
\left( \begin{array}{ccc}
0 & 1\\
-\frac{k}{I} & -\frac{b}{I}\end{array} \right)\quad
\left( \begin{array}{cc}
x_1\\
x_2\end{array} \right)\quad
+ \quad
\left( \begin{array}{cc}
0\\
\frac{k}{I}\theta_R\end{array} \right)
\end{equation}

Para analizar la estabilidad del sistema, calculamos los autovalores de la matriz caracter\'istica, cuyos valores son soluci\'on de la ecuaci\'on \eqref{eqautovalorespuntob}.

\begin{equation}\label{eqautovalorespuntob}
\lambda^2 + \frac{b}{I}\lambda + \frac{k}{I}
\end{equation}

Al obtener las expresiones para $\lambda_1$ y $\lambda_2$, observamos que por un lado, ambos autovalores tienen parte real menor a $0$ para cualquier valor de $k$ mayor a cero, lo que indica que el sistema es estable.

Adem\'as, la parte imaginaria de $\lambda_1$ y $\lambda_2$ es distinta de $0$, condici\'on que se cumple \'unicamente cuando $k > \frac{1}{40}$, es decir que para esos valores el sistema oscila. 


Así se puede verificar en la figura \ref{fpuntoa} que para valores mayores a $1/40$ el sistema presenta oscilaciones y converge a $\theta_R$. Mientras que para valores menores diverge. 

Si bien analíticamente obtuvimos una cota para las oscilaciones, observamos empíricamente que las oscilaciones se presentan claramente para valores mayores a 1.

Este comportamiento tiene lugar en el primer segundo de iniciado el sistema. Para mostrar estas oscilaciones de forma más clara, se grafica también el $ERP$ para distintos valores de $k$ en la figura \ref{ERPpuntoa}.


Analizamos el $ERP$ para distintos valores de $k$ con distintas cotas porcentuales. Los resultados pueden verse en la figura \ref{fpuntoc}.

Notamos que cuanto más pequeño es el valor de $k$, mayor es el $ERP$. Esto coincide con los datos obtenidos pues para valores menores que $1/40$,  $\theta$ diverge y por lo tanto el error es mayor.


\subsection{Controlador Integral}

Si el controlador tiene una din\'amica de la forma

\begin{equation}\label{secondSystemEquation}
u(t) = K_i \int_0^{t} e(\tau) d\tau
\end{equation}

estamos ante un controlador integral. El modelo matem\'atico
que representa al controlador viene dado por:

\begin{equation}\label{integralMatModel}
I \ddot{\theta} = -b \dot{\theta} + K_i \int_0^t \theta_r(\tau) - \theta(\tau) d\tau
\end{equation}

Podemos describir \eqref{integralMatModel} con variables de estado y tenemos el siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales ordinarias:

\begin{equation}\label{integralMatModelStateVar}
\left\{ \begin{array}{llcl}
&\dot{x_1} = x_2\\
&\dot{x_2} = -\frac{b}{I}x_2 + \frac{1}{I}x_3\\
&\dot{x_3} = k_i (\theta_R - x_1)
\end{array} \right.
\end{equation}

donde $x_1 = \theta$, $x_2 = \dot{\theta}$ y $x_3 = K_i \int_0^t \theta_r(\tau) - \theta(\tau) d\tau$.
Resolviendo dicho sistema num\'ericamente, computamos $\theta(t)$ para distintos valores del par\'ametro
$K_i$. Previo al c\'omputo, analizamos si el modelo matem\'atico del controlador a lazo cerrado es un sistema
estable. M\'as a\'un, analizamos si el modelo presenta oscilaciones para alg\'un rango de valores de $K_i$.

Si representamos \eqref{integralMatModelStateVar} en forma matricial obtenemos:

\[
\left( \begin{array}{c}
\dot{x_1} \\
\dot{x_2} \\
\dot{x_3} \end{array} \right) =
\underbrace{\left( \begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
0 & \frac{-b}{I} & 1/I \\
-K_i & 0 & 0 \end{array} \right)}_A \cdot
\underbrace{\left( \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \end{array} \right)}_X + 
\underbrace{\left( \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
K_i \theta_r \end{array} \right)}_b
\]

La estabilidad del modelo depende de los autovalores de $A$, que los computamos como
la soluci\'on a la ecuaci\'on característica dada por el determinante de $|A - \lambda I|$.

\begin{equation}\label{detPuntoD}
 DET(A - \lambda I) = \left| \begin{array}{ccc}
                  -\lambda & 1 & 0\\
                  0 & -\frac{b}{I} - \lambda & \frac{1}{I}\\
                  -K_i & 0 & -\lambda\\
                 \end{array}
          \right|
\end{equation}

Resolvemos el determinante, obteniendo la ecuaci\'on caracter\'istica de \eqref{detPuntoD}, dada por \eqref{ecCaractPuntoD}.

\begin{equation}\label{ecCaractPuntoD}
P(\lambda) = -\frac{b}{I}\lambda^2 -\frac{K_i}{I} - \lambda^3
\end{equation}

La soluci\'on de la ecuaci\'on caracter\'istica \eqref{ecCaractPuntoD}, nos da tres autovalores
$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$. Analizando el valor de $\lambda_1$, llegamos a que $\nexists 
\: K_i \setminus \text{Re}(\lambda_1) < 0$, y por lo tanto el sistema es inestable. Adem\'as, $\forall K_i 
\: \text{Im}(\lambda_2) \neq 0$, lo cual implica que además oscila.


Realizamos simulaciones con el controlador integral y corroboramos los resultados analíticos, es decir que el sistema es inestable y además presenta oscilaciones que aumentan en el tiempo en régimen estacionario. La primera puede verse en la figura \ref{fpuntod2}. Al tener un comportamiento tan inestable, se muestra una segunda figura \ref{fpuntod1} con un intervalo de tiempo más espaciado donde se puede apreciar las referencias para distintos valores de $ki$.


En la figura \ref{erppuntod} est\'a representado el error relativo porcentual en funci\'on del tiempo. En esta puede verse como aumenta el $ERP$ a medida que transcurre el tiempo de simulación.

\subsection{Controlador derivativo}

Se considera el \emph{modelo derivativo}, en el cual $u(t)$ est\'a dada por \eqref{derivativeController}.
%TODO: analisis punto e

\begin{equation}\label{derivativeController}
u(t) = k_d \frac{de}{dt}(t)
\end{equation}

Obtenemos el sistema de ecuaciones que caracteriza al modelo, que se muestra en la ecuaci\'on \eqref{sistemapuntoe}

\begin{equation}\label{sistemapuntoe}
\left\{ \begin{array}{llcl}
         &\dot{x_1} = x_2\\\\
         &\dot{x_2} = -\frac{b}{I}x_2 + \frac{K_d}{I}(0.01-x_2)\\\\
	  \end{array}\right.
\end{equation}

cuya expresi\'on en notaci\'on matricial esta dada por la ecuaci\'on \eqref{sistemapuntoematricial}

\begin{equation}\label{sistemapuntoematricial}
\left( \begin{array}{cc}
\dot{x_1}\\
\dot{x_2}\end{array} \right)=\quad
\left( \begin{array}{ccc}
0 & 1\\
0 & -\frac{b}{I} - k_d \end{array} \right)\quad
\left( \begin{array}{cc}
x_1\\
x_2\end{array} \right)\quad
+ \quad
\left( \begin{array}{cc}
0\\
0.01K_a\end{array} \right)
\end{equation}

Para analizar la estabilidad del sistema, calculamos los autovalores de la matriz A. En este caso, se cumple que $\lambda_1 = 0$ para todo valor de $k_d$, y $\lambda_2 > 0$ para todo $k_d > -5$,  con lo cual el sistema es estable siempre que $k_d > -5$.

Estos resultados se pueden observar en las simulaciones que se muestran en la figura \ref{fpuntoe} para distintos valores de k.

En la figura \ref{erppuntoe} podemos observar el ERP para distintos valores de $k$, con distintas cotas porcentuales.

\section{Conclusiones}

Resulta evidente que el modelado del sistema de control resulta decisivo en un sistema a lazo cerrado, pues depende de su modelado la estabilidad del sistema de seguimiento. 

A partir del análisis de los sistemas de control se concluye que el primer sistema, que tiene un control lineal al error, es el más estable. El modelo de control integral resulta inestable y oscila. El modelo derivativo si bien es estable resulta menos efectvio que el lineal.


\section{Referencias}

\begin{itemize}

\item{ www.wolframalpha.com }

\item{ Alejandro Raúl Díaz, Clase 2. Sistemas y modelos. El concepto de Control. 2007 }

\end{itemize}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/dinamica.png}
\caption{Sistema de seguimiento de blanco}
\label{dinamica}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/Puntoa.png}
\caption{Modelo lineal para distintos valores de k}
\label{fpuntoa}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/ErroresPorKZoomOscilaciones.png}
\caption{ERP en función del tiempo para distintos k en el modelo lineal}
\label{ERPpuntoa}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/Puntoc.png}
\caption{ERP en función del tiempo con cotas}
\label{fpuntoc}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/PuntoD_Intervalo.png}
\caption{Modelo integral para distintos valores de $k_i$ - muestreo temporal espaciado y acotado}
\label{fpuntod1}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/PuntoD_Completo.png}
\caption{Modelo integral para distintos valores de $k_i$ - intervalo completo}
\label{fpuntod2}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/ErroresPorKPuntod.png}
\caption{ERP en función del tiempo para el controlador integral}
\label{erppuntod}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/Puntoe.png}
\caption{Modelo derivativo para distintos valores de k}
\label{fpuntoe}
\end{figure*}

\begin{figure*}[hp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/ErroresPorKPuntoe.png}
\caption{ERP en función del tiempo para el modelo derivativo}
\label{erppuntoe}
\end{figure*}


\end{document}



